Περιγραφή θέματος

  • Γενικά

    Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

    Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος

  • 1. Εισαγωγή

    Περιγραφή ενότητας: Εισαγωγή, ιστορικά στοιχέια για τη χρήση των υπολογιστών σε αναλυτικούς υπολογισμούς. Ολοκληρωμένα Πακέτα Αναλυτικών-Αριθμητικών Υπολογσιμών. Ανοικτό - ελεύθερο λογισμικό. Γνωριμία με το περιβάλλον του εργαστηρίου. Απόδοση κωδικών. Η γλώσσα Python και το λογισμικό πακέτο SAGE. Πρόσβαση στο SAGE μέσω διαδικτύου. Τα φύλλα εργασίας του SAGE. Διαδικασία εκπόνησης και υποβολής εργασιών. Εγκατάσταση του SAGE σε προσωπικούς υπολογιστές. Σύστημα βοήθειας του SAGE. Διαδικτυακή έκδοση του SAGE.

    Λέξεις κλειδιά: Αναλυτικοί υπολογισμοί, αριθμητικοί υπολογισμοί, Python, SAGE

  • 2. Απλοί αναλυτικοί - αριθμητικοί υπολογισμοί - Γραφικά

    Περιγραφή θεματικής ενότητας: Αριθμητικές - συμβολικές μεταβλητές. Μαθηματικές συναρτήσεις - σταθερές. Παραγαντοποίηση - Αλποποίηση - Ανάπτυξη αλγεβρικών παραστάσεων. Αναλυτική/ αριθμητική επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων-συστημάτων. Λογικές πράξεις. Λίστες - πίνακες. Γραφική αναπαράσταση συναρτήσεων. Πρακτική εξάσκηση.

    Λέξεις κλειδιά: Συμβολικές πράξεις, απλοποίηση, παραγοντοποίηση, επίλυση εξισώσεων, επίλυση συστημάτων, λίστες, πίνακες.

  • 3. Γραφικά

    Περιγραφή θεματικής ενότητας: Γραφική αναπαράσταση στις δύο διαστάσεις: Συνάρηση μιας μεταβλητής, καμπύλες στο επίπεδο, Πολική αναπαράσταση. Γραφικά στις τρεις διαστάσεις: Γραφική αναπαράσταση συναρτήσεων δύο μεταβλητών, επιφανειών. Γραφική απεικόνηση διανυσματικών πεδίων. Γραφική αναπαράσταση δεδομένων. Στοιχειώδεις γραφικές συναρτήσεις.  Μορφοποίηση γραφικών. Χρήση εντολών LaTeX.  Εξαγωγή γραφικών σε αρχείο.  Δημιουργία αλληλεπιδραστικών γραφικών. Κινούμενα γραφικά (animation). Δημιουργία βίντεο. Πρακτική εξάσκηση.

    Λέξεις κλειδιά: Γραφική αναπαράσταση σε δύο διαστάσεις,  Γραφική αναπαράσταση στις τρεις διαστάσεις, Animation, Αλληλεπιδραστικά γραφικά.

  • 4. Σύνθετοι αναλυτικοί - αριθμητικοί υπολογισμοί

    Περιγραφή θεματικής ενότητας: Ορισμός συναρτήσεων. Παραγώγιση. Ολοκλήρωση. Όρια. Ανάπτυξη συναρτήσεων σε σειρά. Συμβολική άθροιση. Άπειρα αθροίσματα, σειρές ακολουθίες. Τυχαίοι αριθμοί. Διανύσματα: Εσωτερικό-εξωτερικό γινόμενο. Κλίση, απόκλιση,περιστροφή.  Πίνακες: Ορίζουσες, ιδιοτιμές - ιδιανύσματα. Αναλυτική- αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Πρακτική εξάσκηση.

    Λέξεις Κλειδιά: Ανάπτυγμα Taylor. Συμβολική ολοκλήρωση. Συμβολική άθροιση. Τυχαίοι αριθμοί. Πίνακες, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές, Ιδιονύσματα.

  • 5. Εφαρμογές στα Μαθηματικά

    Περιγραφή θεματικής ενότητας: Ακρότατα συναρτήσεων. Πρώτοι αριθμοί. Κλασικά Πολυώνυμα. Μετασχηματισμός Laplace. Ανάπτυγμα Fourier. Μετασχηματισμός Fourier. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο Newton. Τυχαίοι αριθμοί. Αριθμητικά πειράματα. Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τη χρήση τυχαίων αριθμών (μέθοδος Monte-Carlo). Τυχαίος περίπατος. Πρακτική εξάσκηση.

    Λέξεις κλειδιά: Μέθοδος Newton, πρώτοι αριθμοί, ανάπυγμα Fourier, μέθοδος Monte-Carlo, ακρότατα συναρτήσεων, τυχαίος περίπατος.

  • 6. Εφαρμογές στη Φυσική

    Περιγραφή θεματικής ενότητας: Δυναμικές γραμμές ηλεκτρικού πεδίου, ισοδυναμικές επιφάνειες δυναμικού. Προσαρμογή καμπύλης σε πειραματικά δεδομένα. Αναλυτική/αριθμητική επίλυση εξισώσεων κίνησης μηχανικών συστημάτων. Χαοτικά συστήματα. Αριθμητική επίλυση εξίσωσης του Laplace. Προσομοίωση φυσικών συστημάτων. Πρακτική εξάσκηση.

    Λέξεις Κλειδιά:Προσαρμογή καμπύλης, fit,  χαοτικά συστήματα, δυναμικές γραμμές, ισοδυναμικές επιφάνειες, προσομοίωση

  • ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

    1. Michael O'Sullivan, David Monarres, SSDU SAGE http://www-rohan.sdsu.edu/~mosulliv/Teaching/sdsu-sage-tutorial/index.html
    2. Ted Kosan, SAGE For Newbies, February, 2008, https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/pangulo/laboratorio/sage_for_newbies_v1.23.pdf
    3. Gregory V. Bard, Sage for Undergraduates. American Mathematical Society, 2014.
    4. David Joyner and Marshall Hampton. Introduction to Differential Equations Using Sage, Johns Hopkins University Press, 2012.
    5. A. Casamayou, N. Cohen, G. Connan, T. Dumont, L. Fousse, F. Maltey, M. Meulien, M. Mezzarobba, C. Pernet, N. M. Thiéry, P. Zimmermann , Calcul mathématique avec Sage, http://sagebook.gforge.inria.fr/
    6. Robert A. Beezer, A Sage primer for linear algebra, http://linear.ups.edu/html/fcla.html και  http://linear.ups.edu/download/fcla-3.40-sage-6.4-primer.pdf
    7. Sage Tutorial, The SAGE development team, http://www.sagemath.org/pdf/en/tutorial/SageTutorial.pdf