Περιγραφή θέματος

  • Γενικά

    Αλγεβρικές Δομές Ι

    Διδάσκοντες : Ν. Μαρμαρίδης, Α. Μπεληγιάννης

    Περιγραφή: 

    Ορισμός Ομάδας - Ομάδες Μετατάξεων - Κυκλικές Ομάδες - Γεννήτορες - Πλευρικές Κλάσεις - Θεώρημα Lagrange - Ομομορφισμοί Ομάδων - Ομάδες Πηλίκα - Δακτύλιοι και Σώματα - Ακέραιες Περιοχές - Θεωρήματα Fermat και Euler - Δακτύλιοι Πολυωνύμων - Ομομορφισμοί Δακτυλίων - Δακτύλιοι Πηλίκα - Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη.

    Μαθησιακοί Στόχοι Μαθήματος :

    Το μάθημα στοχεύει να μεταδώσει γνώσεις και δεξιότητες των Αλγεβρικών Δομών στον φοιτητή, ο οποίος θα μπορεί να είναι σε θέση να εφαρμόζει τα βασικά θεωρήματα σε διακεκριμένα παραδείγματα.

    Λέξεις κλειδιά: Ομαδες, Δακτύλιοι, Σώματα. Ομομορφισμοί ομάδων και δακτυλίων, Ομάδες μεταθέσεων, κυκλικές ομάδες, πολυωνυμικοί δακτύλιοι, ακέραιες περιοχές.  Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη.

  • 1 - Σχέσεις Ισοδυναµίας, ∆ιαµερίσεις, και Πράξεις

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Κανονική προβολή και σχέση ισοδυναμίας. Διαμερίσεις. Απεικονίσεις και Σχέσεις Ισοδυναμίας. Πράξεις συμβιβαστές με σχέσεις ισοδυναμίας

    Λέξεις κλειδιά: σχέση ισοδυναμίας, αντιπρόσωπος, σύνολο-πηλίκο, κανονική προβολή

  • 2 - Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Αντίστροφο - αντίθετο στοιχείο και προσεταιριστική ιδιότητα. Βασικές ιδιότητες υποομάδων. Το θεώρημα Lagrange. Το αντίστροφο του Θεωρήματος του Lagrange και η Εναλλάσουσα Ομάδα Α4.

    Λέξεις κλειδιά : ομάδα, προσεταιριστική, ουδέτερο, ταυτοτικό στοιχείο, αντίστροφο, αντίθετο στοιχείο

  • 3 - Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Γεννήτορας και μ-πολλαπλάσιο. Δύναμη Στοιχείου. Τάξη Γινομένου Στοιχείων μιας Ομάδας. Εφαρμογές του Θεωρήματος Lagrange.

    Λέξεις κλειδιά : m–οστή δύναμη, m–πολλαπλάσιο, Κυκλικές Ομάδες, κυκλική υποομάδα, γεννήτορας

  • 4 - Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Αβελιανή ομάδα και Πεπερασμένες Ομάδες. Πεπερασμένες Κυκλικές Ομάδες.

    Λέξεις κλειδιά: φυσικός αριθμός, μικρότερος φυσικός αριθμός , πεπερασμένη αβελιανή ομάδα,

  • 5 - Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους

    Περιγραφή θεματικής ενότητας: Πρωταρχική ρίζα και γινόμενα. Υποομάδες και Γεννήτορες Άπειρων Κυκλικών Ομάδων. Γεννήτορες Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων.

    Λέξεις κλειδιά: πρωταρχική, n-οστή ίζα της μονάδας, Ευθέα Γινόμενα, ισόμορδες ομάδες

  • 6 - Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί

    Περιγραφή θεματικής ενότητας :  Στοιχείο και πρώτοι αριθμοί. Ομάδες τάξης 2p. Ομάδες τάξης pq.

    Λέξεις κλειδιά : Ομάδες τάξης pq , p;q, πρώτοι αριθμοί, μη-ταυτοτικό στοιχείο

  • 7 - Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων)

    Περιγραφή θεματικής ενότητας :Σύνολο - ομάδες και μετάταξεις. Οι πρώτες έννοιες. Τροχιές και ανάλυση σε κύκλους. Εκτιμώντας τις τάξεις των μεταθέσεων της (Sn,o).

    Λέξεις κλειδιά : πεπερασμένο σύνολο , συμμετρική ομάδα, μετάταξη, μετάθεση

  • 8 - Κανονικές (Ορθόθετες) Υποοµάδες

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Ομάδες και συζυγίες. Κανονικές Υποομάδες και Σχέσεις Ισοδυναμίας.

    Λέξεις κλειδιά : Ορθόθετες, Υποομάδες, Κανονικές Υποομάδες, g-συζυγής υποομάδα της H

  • 9 - Οµοµορφισµοί Οµάδων

    Περιγραφή θεματικής ενότητας  : Ασχολία με τις Υποομάδες. Βασικές ιδιότητες και Παραδείγματα. Δομικές Ιδιότητες Ομάδων - Κριτήρια (Μη)-Ισομορφίας.

    Λέξεις κλειδιά : ομομορφισμός ομάδων, ενδομορφισμός, Ομομορφισμοί και Υποομάδες

  • 10 - Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Ταξινόμηση και Ισομορφία Ομάδων. Ταξινόμηση Άπειρων Κυκλικών Ομάδων. Ομάδες Ομομορφισμών Κυκλικών Ομάδων. Ομάδες Αυτομορφισμών Κυκλικών Ομάδων.

    Λέξεις κλειδιά : Ταξινόμηση Κυκλικών Ομάδων, Ταξινόμηση Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων, Ισομορφία Κυκλικών Ομάδων

  • Βιβλιογραφία

      • J. Fraleigh:  "Εισαγωγή στην 'Aλγεβρα", Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, (2005).
      • Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας,  Ο. Ταλλέλη, Ι. Εμμανουήλ:  "Μια Εισαγωγή στην 'Aλγεβρα", Εκδόσεις Σοφία, (2007).
      • Κ. Κάλφα: "Εισαγωγή στην 'Αλγεβρα",  Εκδόσεις Ζήτη,  (2003).
      • Ιστοσελίδα Επιλογής Συγγράμματος:  Εύδοξος

  • Φυλλάδια Ασκήσεων