Περιγραφή θέματος

  • Γενικά

    Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

    Διδάσκοντες : Ν. Μαρμαρίδης, Α. Μπεληγιάννης

    Περιγραφή: 

    Άθροισμα και ευθύ άθροισμα υποχώρων. Οι δακτύλιοι των πολυωνύμων R[x] και C[x]. Ιδιοτιμές. Ιδιοδιανύσματα. Ιδιόχωροι. Διαγωνοποίηση. Θεώρημα Cayley-Hamilton. Ευκλείδειοι χώροι. Ορθογωνιότητα. Κανονικοποίηση Gram-Schmidt. Ορθογώνιοι πίνακες. Αυτοπροσαρτημένοι ενδομορφισμοί. Συμμετρικοί πίνακες. Φασματικό Θεώρημα. Ισομετρίες. Τετραγωνικές μορφές. Κύριοι άξονες. Τετραγωνική ρίζα μη-αρνητικού πραγματικού συμμετρικού πίνακα. Μέτρο πίνακα.

    Μαθησιακοί Στόχοι Μαθήματος : 

    Οι κύριοι σκοποί του μαθήματος είναι: (1)  η μελέτη ενός ενδομορφισμού ενός διανυσματικού χώρου πεπερασμένης διάστασης ή ισοδύναμα η μελέτη ενός τετραγωνικού πίνακα, σε διάφορα πλαίσια, και (2) η μελέτη διανυσματικών χώρων με εσωτερικό γινόμενο και οι εφαρμογές τους στους ενδομορφισμούς και στους τετραγωνικούς πίνακες, καθώς και στις δευτεροβάθμιες επιφάνειες.  

    Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα,  να είναι σε θέση να εφαρμόζει τις βασικές τεχνικές για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και , και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς, για παράδειγμα να διαγωνοποιεί/τριγωνοποιεί (ορθογώνια) ένα (συμμετρικό) πίνακα, και να βρίσκει τη κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής ή επιφάνειας.

    Λέξεις κλειδιάΙδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, Iδιοχώροι, Χαρακτηριστικό και Ελάχιστο πολυώνυμο, Θεώρημα Cayley-Hamilton, Διαγωνοποίηση και τριγωνοποίηση, Εσωτερικά γινόμενα, ορθογωνιότητα, Ευκλείδειοι χώροι, Ορθοκανονικές βάσεις, διαδικασία Gram-Schmidt, Ορθογώνιοι υπόχωροι, Αυτοπροσαρτημένες γραμμικές απεικονίσεις και Συμμετρικοί πίνακες, Ισομετρίες και ορθογώνιοι πίνακες, Φασματικό Θεώρημα, Τετραγωνικές μορφές και Δευτεροβάθμιες επιφάνειες.

  • 1 - Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Σύνθεση και Γινόμενο Πινάκων. Ιδιοτιμές Σύνθεσης Γραμμικών Απεικονίσεων & Γινομένου Πινάκων. Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο Γινομένου Πινάκων.

    Λέξεις κλειδιά : Γινοµένου Πινάκων, απεικόνιση, σύνθεση, πίνακες

  • 2 - Τριγωνοποίηση

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Ανω και Κάτω Τριγωνικοί Πίνακες. Αλόριθμος Τριγωνοποίησης Πίνακα.

    ́Λέξεις κλειδιά : Ανω Τριγωνικοί Πίνακες , Κάτω Τριγωνικοί Πίνακες

  • 3 - Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Γραμμικές Αποικονίσεις και  Cayley-Hamilton. Πολυωνυμικοί Πίνακες. Μία άλλη απόδεξη του θεωρήματος των Cayley-Hamilton.

    Λέξεις κλειδιά : Cayley-Hamilton, Πολυωνυμικές Γραμμικές Απεικονίσεις , Πολυωνυμικοί Πίνακες

  • 4 - Ελάχιστο Πολυώνυµο

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Πυρήνες και Χώροι. Θεώρημα Πρωταρχικής Ανάλυσης. Κριτήριο Διαγωνιοποίησης. Μηδενοισοδύναμοι ενδομορφισμοί και Πίνακες.

    Λέξεις κλειδιά :Ελάχιστο Πολυώνυμο, Πυρήνες , διανυσματικός χώρος

  • 5 - Κανονική Μορφή Fitting

    Περιγραφή θεματικής ενότητας  : Μορφές και Ευθύ Άθροισμα. Αποσύνθεση Fitting.

    Λέξεις κλειδιά : μορφή Fitting, Κανονική Μορφή, Ευθύ ́Αθροισμα

  • 6 - Ταυτόχρονη ∆ιαγωνοποίηση

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Γραμμικές απεικονίσεις. Ταυτόχρονη διαγωνοποίηση Γραμμικών Απεικονίσεων.

    Λέξεις κλειδιά : Διαγωνοποίηση, ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιμοι, γραμμικές απεικονίσεις

  • 7 - Η Κανονική Μορφή Jordan - I

    Περιγραφή θεματικής ενότητας  : Μορφές και Πίνακες Jordan. Βάσεις Jordan. Αλγόριθμος εύρεσης Κανονικής Μορφής Jordan.

    Λέξεις κλειδιά : Μορφή Jordan, πίνακας Jordan, Μηδενοδύναμες Γραμμικές Απεικονίσεις

  • 8 - Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Τετραγωνικός Πίνακας και Ανάλυση Jordan. Κριτήριο ομοιότητας πινάκων. Κριτήριο διαγωνοποίησης πινάκων.

    Λέξεις κλειδιά : Ανάλυση τετραγωνικού πίνακα , ανάλυση Jordan

  • 9 - Η Κανονική Μορφή Jordan - II

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Υποχώροι και Ενδομορφισμοί. Αναλλοίωτοι και Κυκλικοί Χώροι.

    Λέξεις κλειδιά : κυκλικοί υπόχωροι, Μηδενοδύναμοι ενδομορφισμοί

  • 10 - Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Ευκλείδειοι και Σταθμητοί Χώροι. Το θεώρημα των Jordan-Von Neumann.

    Λέξεις κλειδιά : Ευκλείδειοι Χώροι, Σταθμητοί Χώροι , στάθμη, σταθμητός χώρος, διανυσματικός μετρικός χώρος

  • 11 - Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : ́Ογκος Παραλληλεπιπέδου σε Ευκλείδειους Χώρους. Η Γεωμετρική Ερμηνεία της Ορίζουσας και η Ανισότητα του Hadamard.

    Λέξεις κλειδιά : Ορίζουσα Gram, ιαδικασία Gram-Schmidt, ́Ογκος Παραλληλεπιπέδου σε Ευκλείδειους Χώρους

  • 12 - Ισοµετρίες

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Κανονική μορφή Ορθογωνίων Πινάκων και Χαρακτηρισμός Ισομετριών. Κανονική μορφή Ορθογωνίων Πινάκων

    Λέξεις κλειδιά : Χαρακτηρισμός Ισομετριών, μεταφορά, ανάκλαση, υπερεπίπεδο ανάκλασης

  • 13 - Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Πίνακες, Η Παραγοντοποίηση QR ενός πίνακα. Πολική Ανάλυση.

    Λέξεις κλειδιά : Παραγοντοποιήσεις Πινάκων , Ορθογώνια Τριγωνοποίηση

  • Βιβλιογραφία και Χρήσιμοι Σύνδεσμοι