Θεωρία Ομάδων

Topic outline

• General
  
  

  General

  Θεωρία Ομάδων

  Διδάσκων : Ν. Μαρμαρίδης

  

  Περιγραφή: Ομάδες, υποομάδες, κυκλικές, ευθέα γινόμενα, συμμετρικές ομάδες, συζυγία, κεντροποιητής, κανονικές υποομάδες, ομάδες πηλίκα, ομομορφισμοί. Ευθέα γινόμενα, πεπερασμένα γεννώμενες αβελιανές ομάδες. Θεωρήματα Sylow και εφαρμογές. Ημιευθέα και στεφανιαία γινόμενα. Ελεύθερες, επιλύσιμες ομάδες. Ανώτερες και κατώτερες κεντρικές σειρές, μηδενοδύναμες ομάδες.

  Μαθησιακοί Στόχοι Μαθήματος: Το μάθημα αποτελεί μια εμβάθυνση στη Θεωρία Ομάδων και θα προπαθήσει να αναδείξει το γεγονός ότι η άλγεβρα ασχολείται εν πολλοίς με προβλήματα ταξινόμησης, δηλαδή με τον εντοπισμό αντιπροσώπων με χαρακτηριστικές ιδιότητες (ανάλογα με το πρόβλημα) από τις κλάσεις των ισόμορφων ομάδων.  Αρχίζοντας από την έννοια της δράσης μιας ομάδας πάνω σε ένα σύνολο θα προχωρήσουμε στα λεγόμενα Θεωρήματα Sylow που προσδιορίζουν υποομάδες μιας πεπερασμένης ομάδας, οι οποίες έχουν τάξη μέγιστη δύναμη πρώτου αριθμού. Κατόπιν θα μελετήσουμε αλυσσίδες υποομάδων που θα μας οδηγήσουν στο Θεώρημα Jordan-Hoelder και κατόπιν θα αποδείξουμε το Θεώρημα ταξινόμησης των πεπερασμένως παραγόμενων αβελιανών ομάδων.  

  Λέξεις κλειδιά: Προκαταρκτικές Έννοιες, παράγωγες Ομάδες, Μηδενοδύναμες Ομάδες, Θεώρημα Jordan–Hölder, Υποορθόθετες , ορθόθετες Σειρές , Θεώρημα Εκλέπτυνσης Schreier, Το Λήμμα τής Πεταλούδας

  • Ανακοινώσεις Forum
• 1 - Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου
  
  

  1 - Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου

  Περιγραφή θεματικής ενότητας: Δράση Ομάδας, Δράσεις και Αναπαραστάσεις, Δράση ομάδας επί υποσυνόλου καιο πλευρικών κλάσεων
  

  Λέξεις κλειδιά: μετατακτικές Αναπαραστάσεις, Τροχιές και Σταθερωτές, θεώρημα Burnside

  • Σημειώσεις File
• 2 - Θεωρία Sylow
  
  

  2 - Θεωρία Sylow

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Θεωρήματα Sylow & Αυτομορφισμοί Ομάδας, Χαρακτηριστικές ομάδες. Εναλλάσουσα ομάδα Α5.
  

  Λέξεις κλειδιά : Θεωρήματα Sylow, Αυτομορφισμοί Ομάδας , χαρακτηριστικές Υποομάδες

  
   

  • Σημειώσεις File
• 3 - Ευθέα Γινόμενα Ομάδων
  
  

  3 - Ευθέα Γινόμενα Ομάδων

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Εξωτερικό και Εσωτερικό ευθύ Γινόμενο. Σχέση εξωτερικού και εσωτερικού ευθέος Γινομένου. Η Ταξινόμηση των πεπερασμένων αβελιανών Ομάδων.
  

  Λέξεις κλειδιά : ευθύ γινόμενο, γινόμενο υποομάδων, γινόμενο ομάδων, ορθόθετες ομάδες, Sylow υποομάδες

  • Σημειώσεις File
• 4 - Το Θεώρημα Jordan–Hölder
  
  

  4 - Το Θεώρημα Jordan–Hölder

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Θεώρημα Jordan–Hölder. Υποορθόθετες και Σειρές για μια Ομάδα. Το λήμα της Πεταλούδας
  

  Λέξεις κλειδιά : Θεώρημα Jordan–Hölder, Υποορθόθετες , ορθόθετες Σειρές , Θεώρημα Εκλέπτυνσης Schreier, Το Λήμμα τής Πεταλούδας

  • Σημειώσεις File
• 5 - Επιλύσιμες Ομάδες
  
  

  5 - Επιλύσιμες Ομάδες

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Επιλύσιμες Ομάδες. Προκαταρκτικρε Έννοιες, Ορισμός, Παραδείγματα. Μεταθετές και Παράγωγες Ομάδες. Τα ανώτερα κέντρα μιας ομάδας.
  

  Λέξεις κλειδιά : Προκαταρκτικές Έννοιες, παράγωγες Ομάδες, Μηδενοδύναμες Ομάδες

  • Σημειώσεις File
• 6 - Επεκτάσεις Ομάδων
  
  

  6 - Επεκτάσεις Ομάδων

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Προκαταρκτικές Έννοιες. Το Πρόβλημα τής Επέκτασης και το ημιευθύ Γινόμενο. Ημιευθύ Γινόμενο. Για ποιές Τιμές τού n ∈ N είναι κάθε Ομάδα Τάξης n κυκλική;
  

  Λέξεις κλειδιά : συνθετικές σειρές, Πρόγραμμα Hölder, ημιευθύ γινόμενο

  • Σημειώσεις File
• Ασκήσεις
  
  

  Ασκήσεις

  • Προκαταρκτικές Ασκήσεις από τη Θεωρία Ομάδων - Διεδρικές Ομάδες File
  • Προκαταρκτικές Ασκήσεις για τη δράση τής συζυγίας. Δράση Ομάδας. Θεώρημα Burnside. Λύση τής 2.2 File
  • Κλάσεις Συζυγίας κ.λπ. Διόρθωση στην Άσκηση 7β. Λύση τής 3.4. File
  • Ασκήσεις στα Θεωρήματα Sylow. Οι ασκήσεις δεν είναι τόσο δύσκολες όσο φαίνονται. Μπορείτε να τις λύσετε! Λύση τής 4.3. File
  • Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hoelder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες. Ανάρτηση εκ νέου των ασκήσεων ΜΑΖΙ ΜΕ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ File
• Βιβλιογραφία και πρόσθετο υλικό
  
  

  Βιβλιογραφία και πρόσθετο υλικό

  • • Εισαγωγή στην Άλγεβρα (ΠΕΚ) John B. Fraleigh                                
    • Ομάδες και Συμμετρία (Εκδόσεις Leader Books) Mark Anthony Armstrong
  • Χρήσιμοι σύνδεσμοι

    • Beachy Blair  Abstract Algebra : http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/ (Βιβλίο Άλγεβρας με προβλήματα στη Θεωρία Ομάδων και Galois)
    • http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html (στο συγκεκριμένο διαδικτυακό τόπο υπάρχουν σημειώσεις Θεωρίας Ομάδων απο τον J.S. Milne)
    • A Course in Group Theory (Oxford Science Publications) by John F. Humphreys
    • Exercises in Group Theory by E. Lyapin, A. Ya. Aizenshtat, M. M. Lesokhin and David E. Zitarelli
    • http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2010/SeniorProject_CodyClifton.pdf (Ποια είναι η πιθανότητα δύο στοιχεία μιας ομάδας να μετατίθενται;)
    • What is the Probability that Two Group Elements Commute?Author(s): W. H. Gustafson,  The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 9 (Nov., 1973), pp. 1031-1034 
    • Solomon, Ronald (2001), "A brief history of the classification of the finite simple groups", American Mathematical Society. Bulletin. New Series 38 (3): 315–352 
    • Abstract Algebra, 3rd Edition by David S. Dummit and Richard M. FooteAlgebra by Serge Lang