Αλγεβρικές Δομές ΙΙ

Περιγραφή θέματος

• Γενικά
  
  

  Γενικά

  Αλγεβρικές Δομές ΙΙ

  Διδάσκων : Ν. Μαρμαριδης

  

  Περιγραφή: Δακτύλιοι - Περιοχές και Σώματα Ομομορφισμοί και Ιδεώδη - Δακτύλιοι Πηλίκων - Πολυωνυμικοί Δακτύλιοι υπεράνω Σωμάτων - Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη - Ανάγωγα Πολυώνυμα - Οι Κλασικοί Τύποι Επίλυσης Πολυωνυμικών Εξισώσεων - Σώματα Διάσπασης - Η Ομάδα Galois - Οι ρίζες της Μονάδας - Επιλυσιμότητα με Ριζικά - Ανεξαρτησία Χαρακτήρων - Επεκτάσεις Galois - Το Θεμελιώδες Θεώρημα Galois - Διακρίνουσες -Πολυώνυμα Βαθμού ?4 και Ομάδες Galois - Γεωμετρικές Κατασκευές με Κανόνα και Διαβήτη. 

  Μαθησιακοί Στόχοι Μαθήματος : Στόχος του μαθήματος είναι να αποδείξουμε ότι για τις πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές  που είναι βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 5, δεν υπάρχει τύπος που να χορηγεί τις ρίζες (θέσεις μηδενισμού) τους.

  Επιπλέον στο μάθημα θα αποδειχθεί ότι εκτελώντας γεωμετρικές κατασκευές μόνο με χάρακα και διαβήτη, είναι αδύνατος ο τετραγωνισμός του κύκλου, είναι αδύνατη η κατασκευή κύβου με όγκο διπλάσιο από τον όγκο δοθέντα κύβου και επίσης είναι αδύνατη η διαίρεση σε τρία ίσα μέρη οποιασδήποτε δοσμένης γωνίας. Η απόδειξη των προηγούμενων ισχυρισμών βασίζεται στη λεγόμενη Θεωρία Galois που εντάσσεται στη γενικότερη θεωρία των σωμάτων. 

  Λέξεις κλειδιά: δακτύλιος , Ιδεώδη , Π.Κ.Ι, Πηλικοδάκτυλιοι, Ομομορφισμοί, Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα, Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής
  

  • Ανακοινώσεις Φόρουμ
• 1 - Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα
  
  

  1 - Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα

  Περιγραφή θεματικής ενότητας  : Εξέταση Δακτυλίων και Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Εισαγωγή. Στοιχεία Θεωρίας Δακτυλίων, Σώμα Κλασμάτων Ακέραιας Περιοχής

  Λέξεις κλειδιά : Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα, Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής

  • σημειώσεις Αρχείο
• 2 - Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής
  
  

  2 - Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Πολυώνυμο και Ιδεώδη. Ανάγωγα πολυώνυμα. Μηδενικά και Σταθερά πολυώνυμα. Συντελεστές πολυωνύμου.

  Λέξεις κλειδιά : βαθμό πολυώνυμου, μοναδιαίος μεταθετικός δακτύλιος

  • σημειώσεις Αρχείο
• 3 - Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών
  
  

  3 - Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Παραδείγματα κατασκευής σώματος με οδηγό ανάγωγο πολυώνυμο. Δακτύλιος και ΠΚΙ. Προσδιορισμός Μ.Κ.Δ δύο πολυωνύμων.

  Λέξεις κλειδιά : δακτύλιος , Ιδεώδη , Π.Κ.Ι, Πηλικοδάκτυλιοι, ομομορφισμοί

  • σημειώσεις Αρχείο
• 4 - Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι
  
  

  4 - Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Θεώρηματα και Δακτύλιοι. Ομομορφισμοί. Πρώτο Θεώρημα Ισομορφισμού Δακτυλιων. Βασικά θεωρήματα επέκτασης ισομορφισμού σωμάτων σε ισομορφισμό αντίστοιχων επεκτάσεων

  Λέξεις κλειδιά : δακτυλίοι, θεώρημα

  • σημειώσεις Αρχείο
• 5 - Πρώτα και μεγιστοτικά Ιδεώδη
  
  

  5 - Πρώτα και μεγιστοτικά Ιδεώδη

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Ιδεώδη και κύρια Ιδεώδη. Πρώτα και μεγιστοτικά Ιδεώδη.

  Λέξεις κλειδιά : μεγιστοτικά Ιδεώδη, γνήσιο ιδεώδες, περιοχή κυρίων ιδεωδών

  • σημειώσεις Αρχείο
• Βιβλιογραφία και Ψηφιακές Πηγές
  
  

  Βιβλιογραφία και Ψηφιακές Πηγές

  • • Ανδρεαδάκης Σ., Θεωρία Galois, Σ.ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ & ΣΙΑ Ο.Ε. (1η έκδ./1999)
    • Rotman Joseph, Θεωρία Galois, ΔΙΑΔΡΟΜΕΣ ΜΟΝΟΠΡΟΣΩΠΗ ΕΠΕ (1/2000)

  • Εξωτερικές Πηγές

    http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html (στο συγκεκριμένο διαδικτυακό τόπο υπάρχουν σημειώσεις Θεωρίας Galois απο τον J.S. Milne) 

    http://www1.maths.leeds.ac.uk/~ahubery/GaloisTheory.pdf  (στο συγκεκριμένο διαδικτυακό τόπο υπάρχουν σημειώσεις Θεωρίας Galois απο τον Andrew Hubery) 

    Beachy Blair  Abstract Algebra : http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/ (Βιβλίο Άλγεβρας με προβλήματα στη Θεωρία Ομάδων και Galois)

    Galois Theory (Graduate Texts in Mathematics) by Harold M. Edwards (May 14, 1984)

    Galois' Theory Of Algebraic Equations by Jean-Pierre Tignol (Apr 2, 2001)

    Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts) by David A. Cox (Sep 21, 2004)

    Galois Theory by Jean-Pierre Escofier and L. Schneps (Dec 21, 2000)

    Exploratory Galois Theory by John Swallow (Oct 11, 2004)

    http://www.davidson.edu/academic/math/swallow/AlgFieldsWeb/index.htm (πακέτο Mathematica,σχετικό με το αμέσως προηγούμενο βιβλίο, που επιτρέπει υπολογισμούς σε απλές πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων)

• Ασκήσεις
  
  

  Ασκήσεις

  • Ασκήσεις 1 Αρχείο
  • Ασκήσεις 2 Αρχείο
  • Ασκήσεις 3 Αρχείο
• ΒΙΝΤΕΟΔΙΑΛΕΞΕΙΣ
  
  

  ΒΙΝΤΕΟΔΙΑΛΕΞΕΙΣ

  • • Διάλεξη 1 : Ιστορικά Στοιχεία - Επανάληψη γνώσεων Θεωρίας Δακτυλίων
    • Διάλεξη 2 : Ιδεώδες Σώμα
    • Διάλεξη 3 : Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη
    • Διάλεξη 4 : Κατασκευή Σώματος Κλασμάτων
    • Διάλεξη 5 : Πολυωνιμικοί Δακτύλιοι
    • Διάλεξη 6 : Αλγεβρικά Στοιχεία - Αλγεβρικές Επεκτάσεις
    • Διάλεξη 7 : Ανάγωγα Πολυώνυμα
    • Διάλεξη 8 : Ομάδες Galois
    • Διάλεξη 9 : Επιλυσιμότητα με Ριζικά
    • Διάλεξη 10 : Ορισμός της Επιλύσιμης με Ριζικά
    • Διάλεξη 11 : Κυνηγώντας τις Υποομάδες
    • Διάλεξη 12 : Αμφιμονοσήμαντη Αντιστοιχία