Topic outline

  • General

    Αλγεβρικές Δομές ΙΙ

    Διδάσκων : Ν. Μαρμαριδης

    Περιγραφή: Δακτύλιοι - Περιοχές και Σώματα Ομομορφισμοί και Ιδεώδη - Δακτύλιοι Πηλίκων - Πολυωνυμικοί Δακτύλιοι υπεράνω Σωμάτων - Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη - Ανάγωγα Πολυώνυμα - Οι Κλασικοί Τύποι Επίλυσης Πολυωνυμικών Εξισώσεων - Σώματα Διάσπασης - Η Ομάδα Galois - Οι ρίζες της Μονάδας - Επιλυσιμότητα με Ριζικά - Ανεξαρτησία Χαρακτήρων - Επεκτάσεις Galois - Το Θεμελιώδες Θεώρημα Galois - Διακρίνουσες -Πολυώνυμα Βαθμού ?4 και Ομάδες Galois - Γεωμετρικές Κατασκευές με Κανόνα και Διαβήτη. 

    Μαθησιακοί Στόχοι Μαθήματος : Στόχος του μαθήματος είναι να αποδείξουμε ότι για τις πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές  που είναι βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 5, δεν υπάρχει τύπος που να χορηγεί τις ρίζες (θέσεις μηδενισμού) τους.

    Επιπλέον στο μάθημα θα αποδειχθεί ότι εκτελώντας γεωμετρικές κατασκευές μόνο με χάρακα και διαβήτη, είναι αδύνατος ο τετραγωνισμός του κύκλου, είναι αδύνατη η κατασκευή κύβου με όγκο διπλάσιο από τον όγκο δοθέντα κύβου και επίσης είναι αδύνατη η διαίρεση σε τρία ίσα μέρη οποιασδήποτε δοσμένης γωνίας. Η απόδειξη των προηγούμενων ισχυρισμών βασίζεται στη λεγόμενη Θεωρία Galois που εντάσσεται στη γενικότερη θεωρία των σωμάτων. 

    Λέξεις κλειδιά: δακτύλιος , Ιδεώδη , Π.Κ.Ι, Πηλικοδάκτυλιοι, Ομομορφισμοί, Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα, Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής

  • 1 - Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα

    Περιγραφή θεματικής ενότητας  : Εξέταση Δακτυλίων και Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Εισαγωγή. Στοιχεία Θεωρίας Δακτυλίων, Σώμα Κλασμάτων Ακέραιας Περιοχής

    Λέξεις κλειδιά : Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα, Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής

  • 2 - Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Πολυώνυμο και Ιδεώδη. Ανάγωγα πολυώνυμα. Μηδενικά και Σταθερά πολυώνυμα. Συντελεστές πολυωνύμου.

    Λέξεις κλειδιά : βαθμό πολυώνυμου, μοναδιαίος μεταθετικός δακτύλιος

  • 3 - Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Παραδείγματα κατασκευής σώματος με οδηγό ανάγωγο πολυώνυμο. Δακτύλιος και ΠΚΙ. Προσδιορισμός Μ.Κ.Δ δύο πολυωνύμων.

    Λέξεις κλειδιά : δακτύλιος , Ιδεώδη , Π.Κ.Ι, Πηλικοδάκτυλιοι, ομομορφισμοί

  • 4 - Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Θεώρηματα και Δακτύλιοι. Ομομορφισμοί. Πρώτο Θεώρημα Ισομορφισμού Δακτυλιων. Βασικά θεωρήματα επέκτασης ισομορφισμού σωμάτων σε ισομορφισμό αντίστοιχων επεκτάσεων

    Λέξεις κλειδιά : δακτυλίοι, θεώρημα

  • 5 - Πρώτα και μεγιστοτικά Ιδεώδη

    Περιγραφή θεματικής ενότητας : Ιδεώδη και κύρια Ιδεώδη. Πρώτα και μεγιστοτικά Ιδεώδη.

    Λέξεις κλειδιά : μεγιστοτικά Ιδεώδη, γνήσιο ιδεώδες, περιοχή κυρίων ιδεωδών

  • Βιβλιογραφία και Ψηφιακές Πηγές