Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Περιγραφή θέματος

• Γενικά
  
  

  Γενικά

  Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
  

  Διδάσκων : Κολάσης Χαράλαμπος
  

  

  Περιγραφή: Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, συνθήκες Cauchy - Riemann, αναλυτικές συναρτήσεις, αρμονικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις μιγαδικές συναρτήσεις: Εκθετική, λογαριθμική, τριγωνομετρικές και αντίστροφες. Δρομικά ολοκληρώματα. Θεώρημα Cauchy - Goursat. Ολοκληρωτικός τύπος Cauchy. Σειρές Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και μέθοδοι υπολογισμού των. Εφαρμογές των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Αναλυτική συνέχεια. Ολοκληρώματα Fourier. Στοιχεία γενικευμένων συναρτήσεων, η κατανομή δ(χ). Στοιχεία χώρων Hilbert.

  Μαθησιακοί Στόχοι Μαθήματος:

  Ο μιγαδικός λογισμός (δηλαδή η άλγεβρα και η ανάλυση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, με έμφαση κυρίως στην ανάλυση) αποτελεί ένα σημαντικό τμήμα της στοιχειώδους προπτυχιακής μαθηματικής παιδείας η οποία διδάσκεται στα Πανεπιστήμια και Πολυτεχνεία της χώρας. Στόχος αυτού του μαθήματος είναι η κατανόηση και εφαρμογή των ακόλουθων εννοιών:

  • Παράγωγος συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής. Αναλυτική συνάρτηση.
  • Δρομικό ολοκλήρωμα στο μιγαδικό επίπεδο. Υπολογισμός δρομικών ολοκληρωμάτων.
  • Σειρές Taylor και  Laurent.                 
  • Σύμμορφη απεικόνιση και εφαρμογές.

  Οι εφαρμογές του μιγαδικού Λογισμού στη Φυσική είναι πολύ μεγάλες. Έτσι σε αυτό το μάθημα εκτίθενται εφαρμογές από τη θεωρία αγωγής θερμότητας, την ηλεκτροστατική και την δυναμική των ρευστών.

  Η μιγαδική ανάλυση είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την ανάλυση Fourier. Σε μια δεύτερη ενότητα του μαθήματος εκτίθενται οι μετασχηματισμοί Fourier και η εφαρμογή τους στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

  Λέξεις κλειδιά: Μιγαδική μεταβλητή. Εξισώσεις Cauchy-Riemann. Αναλυτική συνάρτηση. Δρομικό ολοκλήρωμα. Ολοκληρωτικό υπόλοιπο. Σύμμορφη απεικόνιση.

  • Ανακοινώσεις Φόρουμ
• 1 - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
  
  

  1 - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Σύντομη αναδρομή στην άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών και σε έννοιες όπως π.χ. ο συζυγής και το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού οικείες από τα μαθηματικά του λυκείου. Έμφαση στην πολική (ή τριγωνομετρική μορφή) των μιγαδικών αριθμών, τον τύπο του de Moivre και στην εφαρμογή του για την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων.

  Λέξεις κλειδιά : Συζυγής, μέτρο, όρισμα, μιγαδικό επίπεδο, τριγωνική ανισότητα, τύπος του de Moivre.

  • σημειώσεις Αρχείο
• 2 - ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
  
  

  2 - ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Εισαγωγή εννοιών από την τοπολογία του μιγαδικού επιπέδου απαραίτητες στη συνέχεια για τη μαθηματική ανάλυση στο μιγαδικό επίπεδο.

  Λέξεις κλειδιά : Γειτονιά ενός σημείου, χωρίο, ανοικτό σύνολο, κλειστό σύνολο, φραγμένο σύνολο, σύνορο και συνοριακό σημείο συνόλου, επ' άπειρον σημείο.

  • σημειώσεις Αρχείο
• 3 - Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ
  
  

  3 - Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ

  Περιγραφή θεματικής ενότητας :  Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής. Η έννοια της συνέχειας και η έννοια της παραγώγου συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής. Οι εξισώσεις Cauchy-Riemann. Η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης. 

  Λέξεις κλειδιά : Παράγωγος, Εξισώσεις Cauchy-Rieman. Αναλυτική συνάρτηση. Αρμονική συνάρτηση (δύο πραγματικών μεταβλητών).

  • σημειώσεις Αρχείο
• 4 - ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
  
  

  4 - ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

  Περιγραφή θεματικής ενότητας :  Ορισμός και μελέτη μερικών βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής όπως η εκθετική συνάρτηση, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι υπερβολικές συναρτήσεις, η συνάρτηση λογάριθμος, η συνάρτηση f(z)=z^c 

  Λέξεις κλειδιά : Εκθετική συνάρτηση. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Υπερβολικές συναρτήσεις. Συνάρτηση λογάριθμος.

  • σημειώσεις Αρχείο
• 5- ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
  
  

  5- ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

  Περιγραφή θεματικής ενότητας : Ορισμός της έννοιας του δρόμου στο μιγαδικό επίπεδο και στη συνέχεια ορισμός του δρομικού ολοκληρώματος. Παραδείγματα υπολογισμού απλών δρομικών ολοκληρωμάτων. Θεώρημα Cauchy-Goursat και ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy με απλά παραδείγματα εφαρμογών τους στον υπολογισμό δρομικών ολοκληρωμάτων. 

  Λέξεις κλειδιά :  Δρομικό ολοκλήρωμα. Θεώρημα Cauchy-Goursat. Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy.

  • σημειώσεις Αρχείο
• 6 - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ
  
  

  6 - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ

  Περιγραφή θεματικής ενότητας :   Εισαγωγή στην έννοια της σειράς συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής. Η έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης της σειράς και η σημασία της. Δυναμοσειρές, ο κύκλος σύγκλισής τους και το θεώρημα Taylor. Η στενή σχέση ανάμεσα στις σειρές Taylor και τις αναλυτικές συναρτήσεις. Οι σειρές Laurent. Απλά παραδείγματα αναπτύγματος στοιχειωδών συναρτήσεων σε σειρές Taylor και Laurent.

  Λέξεις κλειδιά : Ομοιόμορφη σύγκλιση. Ακτίνα σύγκλισης. Κύκλος σύγκλισης. Σειρά Taylor. Σειρά Laurent. 

  • σημειώσεις Αρχείο
• 7 - ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ
  
  

  7 - ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ

  Περιγραφή θεματικής ενότητας :  Θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Υπολογισμός Πραγματικών ολοκληρωμάτων. Λήμμα Jordan.

  Λέξεις κλειδιά : ολοκληρωτικό υπόλοιπο, κύριο μέρος, πρωτεύον μέρος, ανώμαλα σημεία, πόλος τάξης m, απλός πόλος, μερόμορφη συνάρτηση.

  • σημειώσεις Αρχείο
• 8 - ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ
  
  

  8 - ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

  Περιγραφή θεματικής ενότητας :  Η γραμμική απεικόνιση. Η απεικόνιση w=1/z. Η διγραμμική απεικόνιση. Σύμμορφες απεικονίσεις.

  Λέξεις κλειδιά : Γραμμικός μετασχηματισμός, μετασχηματισμός Mobius, σύμμορφη απεικόνιση, γωνία στροφής, συντελεστής κλίμακας, σταθερά σημεία.

  • σημειώσεις Αρχείο
• 9 - ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
  
  

  9 - ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

  Περιγραφή θεματικής ενότητας :  Η «συνάρτηση» δέλτα του Dirac. Ο συναρτησιακός χώρος F ∞. Ο μετασχηματισμός Fourier.

  Λέξεις κλειδιά :  Γενικευμένες συναρτήσεις (ή κατανομές), συνάρτηση δέλτα του Dirac, συνάρτηση μοναδιαίου βήματος, απειροδιάστατος διανυσματικός χώρος, βαθμωτό γινόμενο συναρτήσεων, ερμητιανός διανυσματικός χώρος, τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, φάσμα συχνοτήτων, ορθοκανονικό σύστημα συναρτήσεων, σχέση πληρότητας, αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier, αρχή της συμμετρίας.

  • σημειώσεις Αρχείο
• ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
  
  

  ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

  1. R.Churchil-J. Brown, «Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
  2. Ι.Δ. Βέργαδος, Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής (Τόμος Ι), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
  3. J. E. Marsden- M. J. Hoffman, «Βασική Μιγαδική Ανάλυση», Εκδόσεις Συμμετρία.
  4. Konrad Knopp, «Θεωρία Συναρτήσεων», Εκδόσεις Α. Καραβία, Αθήναι 1970.
• ΑΣΚΗΣΕΙΣ
  
  

  ΑΣΚΗΣΕΙΣ

  • Ασκήσεις 1 Αρχείο
  • Ασκήσεις 2 Αρχείο
  • Ασκήσεις 3 Αρχείο
  • Ασκήσεις 4 Αρχείο
  • Ασκήσεις 5 Αρχείο
  • Ασκήσεις 6 Αρχείο
  • Ασκήσεις 7 Αρχείο
  • Ασκήσεις 8 Αρχείο
• Θέμα 12 δεν είναι διαθέσιμο
• Θέμα 13
  
  

  Θέμα 13

  Θέματα Εξετάσεων και Λύσεις

  • Σεπτέμβριος 2007 (Θέματα) Αρχείο
  • Σπτέμβριος 2007 (Λύσεις) Αρχείο
  • Ιανουάριος 2008 (Θέματα) Αρχείο
  • Ιανουάριος 2008 (Λύσεις) Αρχείο
  • Ιούνιος 2008 (Θέματα) Αρχείο
  • Ιούνιος 2008 (Λύσεις) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2008 (Θέματα) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2008 (Λύσεις) Αρχείο
  • Ιανουάριος 2009 (Θέματα) Αρχείο
  • Ιανουάριος 2009 (Λύσεις) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2009 (Θέματα) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2009 (Λύσεις) Αρχείο
  • Ιανουάριος 2010 (Θέματα) Αρχείο
  • Ιανουάριος 2010 (Λύσεις) Αρχείο
  • Ιούνιος 2010 (Θέματα) Αρχείο
  • Ιούνιος 2010 (Λύσεις) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2010 (Θέματα) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2010 (Λύσεις) Αρχείο
  • Φεβρουάριος 2011 (Θέματα) Αρχείο
  • Φεβρουάριος 2011 (Λύσεις) Αρχείο
  • Δεκέμβριος 2011 (Θέματα) Αρχείο
  • Δεκέμβριος 2011 (Λύσεις) Αρχείο
  • Φεβρουάριος 2012 (Θέματα) Αρχείο
  • Φεβρουάριος 2012 (Λύσεις) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2012 (Θέματα) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2012 (Λύσεις) Αρχείο
  • Φεβρουάριος 2013 (Θέματα) Αρχείο
  • Φεβρουάριος 2013 (Λύσεις) Αρχείο
  • Ιούνιος 2013 (Θέματα) Αρχείο
  • Ιούνιος 2013 (Λύσεις) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2013 (Θέματα) Αρχείο
  • Φεβρουάριος 2014 (Θέματα) Αρχείο

    Θέματα εξεταστικής περιόδου Φεβρουαρίου 2014 (14-02-2014).

  • Φεβρουάριος 2014 (Λύσεις) Αρχείο

    Λύσεις των θεμάτων των γραπτών εξετάσεων Φεβρουαρίου 2014 (14-02-2014).

  • Ιούνιος 2014 (Θέματα) Αρχείο
  • Ιούνιος 2014 (Λύσεις) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2014 (Θέματα) Αρχείο
  • Σεπτέμβριος 2014 (Λύσεις) Αρχείο
  • Φεβρουάριος 2015 (Θέματα) Αρχείο
  • Ιούνιος 2015 (Θέματα) Αρχείο
• ΒΙΝΤΕΟΔΙΑΛΕΞΕΙΣ
  
  

  ΒΙΝΤΕΟΔΙΑΛΕΞΕΙΣ

  • • Διάλεξη 1 : Εισαγωγή. Συνοπτική επισκόπιση της άλγεβρας των μιγαδικών αριθμών. - Τοπολογικοί ορισμοί στο μιγαδικό επίπεδο. - Η έννοια της συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής.
    • Διάλεξη 2 : Έννοια του ορίου, συνέχεια, παράγωγος. Εξισώσεις Cauchy-Riemann.
    • Διάλεξη 3 : Ικανές συνθήκες για την ύπαρξη παραγώγου. Η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης. Αρμονικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις συναρτήσεις.
    • Διάλεξη 4 : Στοιχειώδεις συναρτήσεις
    • Διάλεξη 5 : Ασκήσεις (Μιγαδική άλγεβρα, εξισώσεις Cauchy-Riemann, αρμονικές συναρτήσεις).
    • Διάλεξη 6 : Το δρομικό ολοκλήρωμα. Θεώρημα Cauchy-Goursat. Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy.
    • Διάλεξη 7 : Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy για τις παραγώγους. Ασκήσεις. Ακολουθίες συναρτήσεων. Ομοιόμορφη σύγκλιση. Σειρές συναρτήσεων.
    • Διάλεξη 8 : Ιδιότητες της ομοιόμορφης σύγκλισης σειράς συναρτήσεων. Δυναμοσειρές. Θεώρημα Taylor. Σειρές Taylor. Παραδείγματα ανάπτυξης συναρτήσεων σε σειρά Taylor. Θεώρημα του Laurent.
    • Διάλεξη 9 : Παρατηρήσεις πάνω στο θεώρημα του Laurent. Ταξινόμηση των ανώμαλων σημείων μιας συνάρτησης. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Υπολογισμός ολοκληρωτικών υπολοίπων σε πόλους. Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης σε σειρά Laurent.
    • Διάλεξη 10 : Ασκήσεις (θεώρημα Cauchy-Goursat, ολοκληρωτικός τύπος του Caychy, σειρές Taylor) . Γενικευμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής. Υπολογισμός τους με την μέθοδο των ολοκληρωτικών υπολοίπων.
    • Διάλεξη 11 : Υπολογισμός ολοκληρωμάτων συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής με τη μέθοδο των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Παραδείγματα.
    • Διάλεξη 12 : Ασκήσεις πάνω στον υπολογισμό πραγματικών ολοκληρωμάτων. Απεικονίσεις: Η γραμμική απεικόνιση, η απεικόνιση f(z)=1/z, η διγραμμική απεικόνιση. Η έννοια της σύμμορφης απεικόνισης.
    • Διάλεξη 13 : Ιδιότητες των σύμμορφων απεικονίσεων. Ένα παράδειγμα της απεικόνισης ενός τριγωνικού χωρίου μέσω μιας σύμμορφης απεικόνισης. Τα προβλήματα Dirichlet και Newmann. Επίλυση δύο προβλημάτων Dirichlet με την βοήθεια σύμμορφης απεικόνισης.
    • Διάλεξη 14 : Επίλυση προβλημάτων Dirichlet. Εισαγωγή στη "συνάρτηση δέλτα" του Dirac.
    • Διάλεξη 15 : Ορισμός της παραγώγου της "συνάρτησης δέλτα". Ο διανυσματικός χώρος των κατά τμήματα συνεχών συναρτήσεων σε ένα διάστημα [a,b] της πραγματικής ευθείας. Σειρές Fourier. Ο διανυσματικός χώρος των κατά τμήματα συνεχών συναρτήσεων με πεδίο ορισμού όλη την πραγματική ευθεία. Ο μετασχηματισμός Fourier.
    • Διάλεξη 16 : Το ολοκλήρωμα Fourier. Απλά παραδείγματα υπολογισμού μετασχηματισμένων Fourier. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier.
    • Διάλεξη 17 : Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (Συνέχεια προηγούμενου μαθήματος). Παραδείγματα υπολογισμού μετασχηματισμένων Fourier. Επίλυση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές (κύκλωμα RLC με ημιτονοειδή όπως και με στιγμιαία εξωτερική τάση) με την βοήθεια ενός μετασχηματισμού Fourier.
    • Διάλεξη 18 : Επίλυση κυκλώματος RLC με στιγμιαία εξωτερική τάση (συνέχεια προηγούμενης διάλεξης). Υπολογισμός της αντίστροφης μετασχηματισμένης Fourier της συνάρτησης F(k)=exp(-tk2).
    • Διάλεξη 19 : Επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων (εξίσωση Laplace, εξίσωση διάχυσης, κυμματική εξίσωση) με τη βοήθεια ενός μετασχηματισμού Fourier.
    • Διάλεξη 20 : Παράδειγμα επίλυσης της μη ομογενούς κυμματικής εξίσωσης σε μία διάσταση όπως και μίας ολοκληρωτικής εξίσωσης με την μέθοδο του μετασχηματισμού Fourier. Στοιχεία χώρων Hilbert. Γραμμικοί τελεστές σε χώρους Hilbert.
    • Διάλεξη 21 : Στοιχεία χώρων Hilbert. Γραμμικοί τελεστές σε χώρους Hilbert.
    • Διάλεξη 22 : Ασκήσεις επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με την μέθοδο του μετασχηματισμού Fourier.
    • Διάλεξη 23 : Διανυσματικά πεδία σε δύο διαστάσεις και περιγραφή τους στο μιγαδικό επίπεδο. Εφαρμογές στην αγωγή της θερμότητας, την ηλεκτροστατική και την δυναμική των ρευστών.
    • Διάλεξη 24 : Παραδείγματα μιγαδικών δυναμικών στην ηλεκτροστατική. Επίλυση ενός προβλήματος στην ηλεκτροστατική με τη βοήθια μιας σύμμορφης απεικόνισης. Παραδείγματα μιγαδικών δυναμικών στην δυναμική των ρευστών.
    • Διάλεξη 25 : Επαναληπτική άσκηση πάνω στις εξισώσεις Cauchy-Riemann και υπολογισμός ενός δρομικού ολοκληρώματος με παραμετροποίηση του δρόμου ολοκλήρωσης.
    • Διάλεξη 26 : Επαναληπτικές Ασκήσεις