Γενικά
Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
Διδάσκων : Κολάσης Χαράλαμπος
Περιγραφή: Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, συνθήκες Cauchy - Riemann, αναλυτικές συναρτήσεις, αρμονικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις μιγαδικές συναρτήσεις: Εκθετική, λογαριθμική, τριγωνομετρικές και αντίστροφες. Δρομικά ολοκληρώματα. Θεώρημα Cauchy - Goursat. Ολοκληρωτικός τύπος Cauchy. Σειρές Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και μέθοδοι υπολογισμού των. Εφαρμογές των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Αναλυτική συνέχεια. Ολοκληρώματα Fourier. Στοιχεία γενικευμένων συναρτήσεων, η κατανομή δ(χ). Στοιχεία χώρων Hilbert.
Μαθησιακοί Στόχοι Μαθήματος:
Ο μιγαδικός λογισμός (δηλαδή η άλγεβρα και η ανάλυση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, με έμφαση κυρίως στην ανάλυση) αποτελεί ένα σημαντικό τμήμα της στοιχειώδους προπτυχιακής μαθηματικής παιδείας η οποία διδάσκεται στα Πανεπιστήμια και Πολυτεχνεία της χώρας. Στόχος αυτού του μαθήματος είναι η κατανόηση και εφαρμογή των ακόλουθων εννοιών:
- Παράγωγος συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής. Αναλυτική συνάρτηση.
- Δρομικό ολοκλήρωμα στο μιγαδικό επίπεδο. Υπολογισμός δρομικών ολοκληρωμάτων.
- Σειρές Taylor και Laurent.
- Σύμμορφη απεικόνιση και εφαρμογές.
Οι εφαρμογές του μιγαδικού Λογισμού στη Φυσική είναι πολύ μεγάλες. Έτσι σε αυτό το μάθημα εκτίθενται εφαρμογές από τη θεωρία αγωγής θερμότητας, την ηλεκτροστατική και την δυναμική των ρευστών.
Η μιγαδική ανάλυση είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την ανάλυση Fourier. Σε μια δεύτερη ενότητα του μαθήματος εκτίθενται οι μετασχηματισμοί Fourier και η εφαρμογή τους στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων.
Λέξεις κλειδιά: Μιγαδική μεταβλητή. Εξισώσεις Cauchy-Riemann. Αναλυτική συνάρτηση. Δρομικό ολοκλήρωμα. Ολοκληρωτικό υπόλοιπο. Σύμμορφη απεικόνιση.